home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.7p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  4.9 KB  |  283 lines
  1. à 1.7è Second Order, Lïear Differential Equations that are
  2.     èèèReducible ë First Order
  3.  
  4. äèèFïd ê general solution
  5.  
  6. â    èèy»» + 2y» = 0èis a lïear second order differential 
  7.     equation with a missïg y term.èMake ê substitution
  8.     p = y» , p» = y»» so ê differential equation becomes
  9.     èèp» + 2p = 0.èThis separates ëèdp/p = -2 dx
  10.     Integratïg yields ln[p] = -2x - ln[C¬].èRearrangïg gives
  11.     èèp = C¬eúì╣.èBut p = y» = C¬eúì╣.èThis ïtegrates ë
  12.     ê general solutionèy = -C¬eúì╣ /2 + C½
  13.  
  14. éS    èè A lïear, homogeneous, second order differential
  15.     equation is ç ê form
  16.  
  17.     èè a(x)y»» + b(x)y» + c(x)y = 0
  18.  
  19.     If c(x) is ïitially zero, this second order differential
  20.     equation can be converted ë two first order differential
  21.     equations which can usually be solved by ê techniques ç
  22.     this Chapter.
  23.  
  24.     èè For ê differential equation
  25.  
  26.     èè a(x)y»» + b(x)y» = 0
  27.  
  28.     ê substitution
  29.  
  30.         p = y»
  31.  
  32.     åèè p» = y»»
  33.  
  34.     produces ê first order differential equation.
  35.  
  36.     èè a(x)p» + b(x)p = 0
  37.  
  38.     When this is solved for p = G(x), it will have a constant 
  39.     ç ïtegration.èThis ï turn is substituted back ïë ê 
  40. èèèèorigïal variable,
  41.  
  42.         y» = G(x)
  43.  
  44.     å ïtegrated directly ë produce
  45.  
  46.         y = H(x)
  47.  
  48.     This will have two constants ç ïtegration, one from each
  49.     ïtegration, which is ê requisite number for a second
  50.     order differential equation.
  51.  
  52.  1    y»» + y» = 0
  53.  
  54.  
  55.     A)    C¬x + C½        B)    C¬xì + C½
  56.  
  57.     C)    C¬e╣ + C½        D)    -C¬eú╣ + C½
  58.  
  59. ü        y»» + y» = 0 is missïg its y-term, so make ê
  60.     substitution
  61.         p = y»
  62.         p» = y»»
  63.     ë yield
  64.         p» + p = 0
  65.  
  66.     This is a separable differential equation which gives
  67.         ░èdp    èè ░è
  68.         ▒ ────è=è- ▒ dx
  69.         ▓è p    èè ▓è
  70.     These ïtegrate ë
  71.  
  72.         ln[p] =è-x + ln[C¬]
  73.  
  74.     Usïg ê properties ç logarithms å rearrangïg yields
  75.  
  76.         p = C¬eú╣
  77.  
  78.     But as p = y», this becomes
  79.  
  80.         y» = C¬eú╣
  81.  
  82.     This ïtegrates directly by substitution 
  83.         u = -xè du = -dx
  84.  
  85.     ë yield ê general soltuion
  86.  
  87.         y = -C¬eú╣ + C½
  88.  
  89. ÇèD
  90.  
  91.  
  92.  2    xìy»» + 2xy» = 0
  93.  
  94.  
  95.     A)    C¬x + C½        B)    C¬xì + C½
  96.  
  97.     C)    -C¬/x + C½        D)    -C¬/xì + C½
  98.  
  99. ü        xìy»» + 2xy» = 0 is missïg its y-term, so make ê
  100.     substitution
  101.         p = y»
  102.         p» = y»»
  103.     ë yield
  104.         xìp» + 2xp = 0
  105.  
  106.     This is a separable differential equation which gives
  107.         ░èdp    èè ░èdx
  108.         ▒ ────è= -2 ▒ ────
  109.         ▓è p    èè ▓è x 
  110.     These ïtegrate ë
  111.  
  112.         ln[p] =è-2ln[x] + ln[C¬]
  113.  
  114.     Usïg ê properties ç logarithms å rearrangïg yields
  115.  
  116.         p = C¬xúì
  117.  
  118.     But as p = y», this becomes
  119.  
  120.         y» = C¬xúì
  121.  
  122.     This ïtegrates directly ë yield ê general solution
  123.  
  124.         y = -C¬xúî + C½
  125.  
  126. ÇèC
  127.     
  128.  3    4y»» - y» = 0
  129.  
  130.  
  131.     A)    C¬eÅ╣/4 + C½        B)    4C¬e╣»Å + C½
  132.  
  133.     C)    -C¬eúÅ╣/4 + C½        D)    -4C¬eú╣»Å + C½
  134.  
  135. ü        4y»» - y» = 0 is missïg its y-term, so make ê
  136.     substitution
  137.         p = y»
  138.         p» = y»»
  139.     ë yield
  140.         4p» - p = 0
  141.  
  142.     This is a separable differential equation which gives
  143.         ░èdp    è1 ░è
  144.         ▒ ────è= ─ ▒ dx
  145.         ▓è p    è4 ▓èè
  146.  
  147.     These ïtegrate ë
  148.  
  149.         ln[p] =èx/4 + ln[C¬]
  150.  
  151.     Usïg ê properties ç logarithms å rearrangïg yields
  152.  
  153.         p = C¬e╣»Å
  154.  
  155.     But as p = y», this becomes
  156.  
  157.         y» = C¬e╣»Å
  158.  
  159.     This ïtegrates directly by substitution
  160.         u = x/4è du = dx/4è dx = 4du
  161.  
  162.     ë yield ê general solutuion
  163.  
  164.         y = 4C¬e╣»Å + C½
  165.  
  166. ÇèB
  167.  
  168.  4    xy»» - 3y» = 0
  169.  
  170.  
  171.     A)    C¬xì/2 + C½        B)    C¬xÄ/3 + C½
  172.  
  173.     C)    C¬xÅ/4 + C½        D)    C¬xÉ/5 + C½
  174.  
  175. ü        xy»» - 3y» = 0 is missïg its y-term, so make ê
  176.     substitution
  177.         p = y»
  178.         p» = y»»
  179.     ë yield
  180.         xp» - 3p = 0
  181.  
  182.     This is a separable differential equation which gives
  183.         ░èdp    èè░èdx
  184.         ▒ ────è= 3 ▒ ────
  185.         ▓è p    èè▓èx
  186.  
  187.     These ïtegrate ë
  188.  
  189.         ln[p] =è3ln[x] + ln[C¬]
  190.  
  191.     Usïg ê properties ç logarithms å rearrangïg yields
  192.  
  193.         p = C¬xÄ
  194.  
  195.     But as p = y», this becomes
  196.  
  197.         y» = C¬xÄ
  198.  
  199.     This ïtegrates directly ë yield ê general solution
  200.  
  201.         y = C¬xÅ/4 + C½
  202.  
  203. ÇèC
  204.  
  205.  5    sï[x]y»» - cos[x]y» = 0
  206.  
  207.  
  208.     A)    -C¬cos[x] + C½        B)    C¬sï[x] + C½
  209.  
  210.     C)    C¬tan[x] + C½        D)    -C¬cot[x] + C½
  211.  
  212. ü        sï[x]y»» - cos[x]y» = 0 is missïg its y-term, so 
  213.     make ê substitution
  214.         p = y»
  215.         p» = y»»
  216.     ë yield
  217.         sï[x]p» - cos[x]p = 0
  218.  
  219.     This is a separable differential equation which gives
  220.         ░èdp    è ░ cos[x] dx 
  221.         ▒ ────è=è▒ ─────────
  222.         ▓è p    è ▓è sï[x]
  223.  
  224.     These ïtegrate by substitution on ê right ïtegral
  225.         u = sï[x]èèdu = cos[x] dx
  226.  
  227.         ln[p] =èln{sï[x]} + ln[C¬]
  228.  
  229.     Usïg ê properties ç logarithms å rearrangïg yields
  230.  
  231.         p = C¬sï[x]
  232.  
  233.     But as p = y», this becomes
  234.  
  235.         y» = C¬sï[x]
  236.  
  237.     This ïtegrates directly ë yield ê general solution
  238.  
  239.         y = -C¬cos[x] + C½
  240.  
  241. ÇèA
  242.  
  243.  6    2xy»» - y» = 0
  244.  
  245.  
  246.     A)    2/3 C¬xÄ»ì + C½        B)    2C¬xî»ì + C½
  247.  
  248.     C)    -2C¬xúî»ì + C½        D)    -2/3 C¬xúÄ»ì + C½
  249.  
  250. ü        2xy»» - y» = 0 is missïg its y-term, so make ê
  251.     substitution
  252.         p = y»
  253.         p» = y»»
  254.     ë yield
  255.         2xp» - p = 0
  256.  
  257.     This is a separable differential equation which gives
  258.         ░èdp    è1 ░èdx
  259.         ▒ ────è= ─ ▒ ────x
  260.         ▓è p    è2 ▓èx
  261.  
  262.     These ïtegrate ë
  263.  
  264.         ln[p] =è1/2 ln[x] + ln[C¬]
  265.  
  266.     Usïg ê properties ç logarithms å rearrangïg yields
  267.  
  268.         p = C¬xî»ì
  269.  
  270.     But as p = y», this becomes
  271.  
  272.         y» = C¬xî»ì
  273.  
  274.     This ïtegrates directly ë yield ê general solution
  275.  
  276.         y = 2/3 C¬xÄ»ì + C½
  277.  
  278. ÇèA
  279.  
  280.  
  281.  
  282.  
  283.